1. Да, поскольку действующее законодательство не содержит нормы, ограничивающей данное право.
А ст. 256 ТК РФ и п. 38 Положения о назначении и выплате государственных пособий гражданам, имеющим детей (утв. Постановлением Правительства РФ от 30.12.2006 N 865), прямо предоставляют право указанным лицам оформлять отпуск по уходу за ребенком по очереди (частями).
Например, работающая мать ребенка после окончания отпуска по беременности и родам вправе оформить отпуск по уходу за ребенком до достижения им возраста семи месяцев и выйти на работу. А начиная с восьмого месяца отпуск по уходу за ребенком по месту работы вправе оформить отец ребенка.
2. Да, бабушка может оформить такой отпуск, если она работает, т.е. является застрахованным лицом и ей предоставлен соответствующий отпуск. Право на получение ежемесячного пособия по уходу за ребенком имеют матери, либо отцы, либо другие родственники, опекуны, фактически осуществляющие уход за ребенком, подлежащие обязательному социальному страхованию и находящиеся в отпуске по уходу за ним (пп. "а" п. 35 Положения).